DOC《河南工业大学》

河南工业大学 硕士研究生入学考试情况介绍 科目名称:高等代数 科目代码:

837 《高等代数》考试概要

一、要求和知识点 1.

一元多项式 (1)考试要求 维向量空间,向量的线性组合与线性表示的概念. -矩阵 (1)考试要求 -矩阵等价与矩阵相似的关系. -矩阵可逆的定义与判别条件.会计算-矩阵的标准形,复系数矩阵的Jordan标准形. (2)知识点 -矩阵的相关概念、等价以及判定;

行列式因子、不变因子、初等因子的相关概念与应用;

-矩阵的标准形与Jordan标准形. 9. 欧氏空间 (1)考试要求 ,其中. 讨论为何值时,(1)方程组仅有零解?(2)有无穷多解?在有无穷多解时,求出通解.

二、(15分)设多项式互素,证明.

三、(15分)设是3阶方阵,分别是的特征值1,-1的特征向量,且向量满足. (1)证明线性无关;

(2)令,求.

四、(15分)设是阶方阵,满足,求证: ,其中表示的秩.

五、(15分)设向量能由向量组线性表出,但不能由部分组线性表出. 证明向量组与等价.

六、(15分)设为维欧氏空间,证明: (1)对中每个线性变换,都存在唯一的共轭变换,即存在唯一的线性变换,使对任意,有;

(2)为对称变换;

考试科目代码及名称:837 高等代数 共2页(第2页) (3)为正交变换(恒等变换).

七、(15分)设方程组的解空间为,方程组 的解空间为,求证.

八、(15分)设是实数域上的阶对称矩阵,且,并且. (1)求证是半正定的;

(2)计算.

九、(15分)设是数域上2阶方阵的全体,线性变换在基下的矩阵为.即,其中为第-元素为1,其余元素全为0的2阶方阵. 分别求的像空间和核空间的维数和一组基.

十、(15分)设是数域上阶方阵的全体,是的一个非空子集,且满足以下条件: (1)中至少有一个非零矩阵;

(2)对中任意方阵,总有属于;

(3)对中任意方阵,中任意方阵,都属于. 证明: . 河南工业大学 2017年硕士研究生入学考试参考答案及评分标准 考试科目代码及名称:837 高等代数 共5页(第1页)

一、解:设齐次线性方程组的系数矩阵为,即. 计算…5分 由克拉默法则知,当,即且时,仅有零解…..8分 当时,,

此时的通解为: ,其中,为任意常数,为第一个分量为-1,第个分量为1,其余分量为0的向量…11分 当时,,

此时的通解为: ,其中,为任意常数,15分

二、证明:(反证法) 设,则,注意到互素, 若,不妨设不可约,则整除中之一 5分 不妨设不整除,而整除,于是存在使得. 考试科目代码及名称:837 高等代数 共5页(第 2页) 另一方面,注意到,于是存在使得…10分 进一步,,

故矛盾….15分

三、解:(1)由已知是的对应于不同特征值的特征向量,所以线性无关,且不再是的特征向量…5分 并且不是的特征向量.事实上,若不然,则存在的特征值使得,从而仍为的特征向量,矛盾. 同时说明不能由线性表出,故线性无关…10分(2)由,再由(1)知可逆,故…15分

四、证明:设的行向量生成的空间为,的行向量生成的空间为,的行向量生成的空间为,的行向量生成的空间为. 由于的行向量可由的行向量和的行向量线性表出,故…5分 又由于的行向量可由的行向量线性表出;

的行向量可由的行向量线性表出,而,故…10分 由维数公式,又,故 考试科目代码及名称:837 高等代数 共5页(第3页) 15分

五、证明:令,由已知能由向量组线性表出,得能由线性表出…5分 另一方面,显然均能由线性表出…7分 事实上,也可以由线性表出. 注意到能由向量组线性表出,故存在,使得.注意到不能由部分组线性表出,故.于是.故也可以由线性表出. 综上可得能由线性表出. 于是,与等价…15分