PPT《第二章 水静力学》

第二章 水静力学 §2-1静水压强及其特性§2-2液体的平衡微分方程§2-3重力作用下静水压强的分布规律§2-4测量压强的仪器§2-5重力和惯性力联合作用下液体的相对平衡§2-6作用在平面壁上的静水总压力§2-7作用在曲面壁上的静水总压力

第二章 水静力学

一、压强的定义: 单位面积上所受的压力 公式

二、静水压强的特性 第一特性:静水压强垂直于作用面,并指向作用面.

A P p A D D = ? D

0 lim 平均压强 点压强 单位:N/m2 (Pa) §2-1 静水压强及其特性 证明:取一处于静止或相对平衡的某一液体 Ⅰ Ⅱ Pn P τ P N N A B 静水压强的方向与作用面的内法线方向重合, 静水压强是一种 压应力

第二章 水静力学 第二特性:某一点静水压强的大小与作用面的 方位无关. Py Pz Px A B C D Pn Y X Z O ?y ?x ?z

第二章 水静力学 p n s Pn ・ D = p z y x Pz ・ D ・ D =

2 1 p y x z Py ・ D ・ D =

2 1

2 p x z y Px ・ D ・ D =

1 相应面上的总压力为 D Py Pz A B C Pn Y X Z O Px

第二章 水静力学 四面体的体积D V为6yxDV・D・D=1zD总质量力在三个坐标方向的投影为 D Py Pz A B C Pn Y X Z O Px

6 ? z y Fx ・ D ・ D =

1 x D ・ X

1 6 ? z y Fy ・ D ・ D = x D ・ Y

6 ? z y Fz ・ D ・ D =

1 x D ・ Z

第二章 水静力学 按照平衡条件,所有作用于微小四面体上 的外力在各坐标轴上投影的代数和应分别为零 第一式中 z y p n D ・ D ・ =

2 1 x n s x n p P n n ・ D ・ = ) , cos( ) , cos( D Py Pz A B C Pn Y X Z O Px

第二章 水静力学

0 ) , cos( = + - F P P x n x x n 代入第一式 则: 整理后,有 当四面体无限缩小到A点时, x D

0 因此: p n p x = 同理,我们可以推出: p n p y = p n p z = 和DPy Pz A B C Pn Y X Z O Px

第二章 水静力学 这样我们可以得到: p y p x = p n p z = = 上式表明任一点的静水压强 p是各向等值的,与作用面的方位无关.第二特性得到证明 D Py Pz A B C Pn Y X Z O Px

第二章 水静力学 §2-2 液体的平衡微分方程及其积分 dx dy dz Y X Z O A(x,y,z) N M

第二章 水静力学 dx dy dz Y X Z O A(x,y,z) N M A点的压强为一函数p(x,y,z) 泰勒级数展开式为: 运用泰勒级数将p(x,y,z)展开,并忽略二阶以上微量 M点的压强? 坐标

第二章 水静力学 N点压强为: dx x p p x p dx P p N ? ? + = ? ? + =

2 1

2 则:M点压强为: dx dy dz Y X Z O A(x,y,z) N M 六面体左右两面的表面力为: dydz dx x p p dydz dx x p p )

2 1 ( )

2 1 ( ? ? + ? ? -

第二章 水静力学 dx dy dz Y X Z O A(x,y,z) N M 另外作用在微小六面体上的质量力在X轴向的分量为: dxdydz X r ・ 根据平衡条件上述各力在X轴上的投影应为零,即: dydz dx x p p )

2 1 ( ? ? - dydz dx x p p )

2 1 ( ? ? + - dxdydz X r ・ +

0 = 整理得:

0 1 = ? ? - x p X r 同理,在x,y方向上可得:

第二章 水静力学 dx dy dz Y X Z O A(x,y,z) N M 上式为液体平衡微分方程. 它表明:液体处于平衡状态时,对于单位质量液体来说,质量力分量(X,Y,Z)和表面力的分量

1 ? ? x p r

1 ? ? y p r

1 ? ? z p r ( ) 是对应相等的. 又称欧拉平衡微分方程

0 1 = ? ? - z p Z r

0 1 = ? ? - y p Y r

0 1 = ? ? - x X r p

第二章 水静力学 p

0 1 = ? ? - z Z r p

0 1 = ? ? - y Y r 将01=??-xXrp依次乘以dx,dy,dz后相加得: Zdz Ydy Xdx dz z p dy y p dx x p + + = ? ? + ? ? + ? ? ) (

1 r dz z p dy y p dx x p ? ? + ? ? + ? ? ) ( 因为 是P(x,y,z)的全微分 改写成全微分的形式就是液体平衡微分方程 就是说,静水压强的的分布规律完全是由单位质量力决定的.

第二章 水静力学 由于密度 r 可视为常数, 也是函数U(x,y,z)的全微分即: 则函数U(x,y,z)的全微分为: 由此得: 满足上式的函数U(x,y,z)称为力函数或力的势函数,具有这种势函数的质量力称为有势的力. 由此可见:液体只在有势的质量力作用下才能平衡 ) Zdz Ydy (Xdx + + 式子

第二章 水静力学 等压面:液体中各点压强相等的面. 在等压面上p=常数,即dp=ρdU=0,而ρ≠0故dU=0即U=常数,等压面即等势面. 等压面的重要特性:等压面恒与质量力正交.证明之 在等压面上 式中dx、dy、dz可设想为液体质点在等压面上的任意微小位移 ds在相应坐标轴上的投影. 质量力作的微功为零,而质量力和ds都不为零,所以等压面与质量力必然正交.

第二章 水静力学 §2-3重力作用下静水压强的分布规律

一、水静力学基本方程 重力在坐标轴上的投影分别为: X=

0、Y=

0、Z= -g 代入液体平衡方程 得YZP0 X

0 积分得: 或

第二章 水静力学 即为重力作用下的水静力学基本方程式 上式表明: Y Z P0 X

0 在静止液体中,任何一点的(总是一个常数,对液体内任意两点,上式可写成: 在液体自由表面上, 代入得: 因此:公式 可写成:

第二章 水静力学 对于液体中各点来说,一般用各点在液面以下的深度 代替 , 因此将 代入上式得: 静水全压强 上式即为水静力学基本方程式的另一种形式 它说明:

1、在静止的液体中,压强随深度线性规律变化

2、静止液体中任一点的压强 等于表面压强 与从该点到液体自由表面的单位面积上的液柱重量之和. 应用上式,便可以求出静止液体中任一点的静水压强

第二章 水静力学

二、压强的表示方法和单位

1、压强的表示方法: ⑴绝对压强:数值是以"完全真空"为零(基准)算起的.用Pabs表示. ⑵相对压强:在实际工作中,一般建筑物表面均作用着大气压强,这种以当地大气压强为零算起的压强为相对压强.用P表示. 也称为静水全压强 也叫计算压强 或称表压,用公式表示: 如果自由表面压强 与当地大气压强 相等 则 也称静水超压强或重量压强

第二章 水静力学 绝对压强永远为正值,最小值为零. 相对压强可正可负,当Pabs